Mathematik

Mathematik: Wissenschaft, die die Untersuchung bestimmter quantitativer und qualitativer Aspekte der Wirklichkeit sowie das abstrakte Studium bestimmter in Natur und Gesellschaft gegebener Strukturen zum Gegenstand hat und auf die Nutzung der hierbei gewonnenen Erkenntnisse gerichtet ist. Für die meisten anderen Wissenschaften und in weiten Bereichen der materiellen Produktion ist die Anwendung mathematischer Ergebnisse heute unerlässlich. insbesondere steht die Entwicklung der Mathematik in enger Wechselwirkung mit der von Naturwissenschaften und Technik; aber auch Medizin, Ökonomie und vor allem die Computerentwicklung bereichern gegenwärtig in starkem Maße die zu bearbeitenden mathematischen Probleme. Die Mathematik ist gekennzeichnet durch eine hohe Präzision ihres Begriff Systems, Strenge ihrer Beweismethoden und einen stark deduktiven Charakter ihrer Darlegung. entsprechend der Vielfalt ihrer Anwendungsgebiete gliedert sich die Mathematik in eine große Anzahl von Spezialdisziplinen, die jedoch in vielfachem Zusammenhang stehen und sich in mannigfacher Weise befruchten. Wichtige Teilgebiete der Mathematik sind unter anderem Analysis (Differential- und Integralrechnung, Funktionentheorie, Differential- und Integralgleichungen, Funktionalanalysis), Algebra (Auflösung algebraischer Gleichungen, algebraische Strukturtheorie), Arithmetik (Zahlentheorie), Geometrie (analytischer und synthetischer Geometrie, Differentialgeometrie, Topologie, nichteuklidische Geometrie, darstellende Geometrie), Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, diskrete Mathematik (Kombinatorik, Graphen-, Berechnungstheorie), numerische Mathematik Fragestellungen methodische und philosophische Natur führten zur innermathematischen Behandlung von Grundlagenfragen, die heute unter der Bezeichnung Metamathematik zusammengefasst werden und Gebiete wie mathematische Logik, Mengenlehre, Modelltheorie unter anderem umfassen. Geschichtliches. Bereits in der Urgesellschaft bildeten sich erste mathematische Kenntnisse aus (Ornamente, Zählen, Kalender). Früheste schriftliche Zeugnisse der Mathematik sind aus Mesopotamien (3. Jahrtausend vor Christus) und Ägypten (18. Jahrhundert vor Christus) bekannt. Sie enthalten arithmetische und geometrische Berechnungen in konkreter Form. In der griechisch-hellenistischen Antike bildete die Mathematik deduktive Beweisverfahren (indirekter Beweis) auf der Basis einer Axiomatik heraus. Weitere Spitzenleistungen waren die Systematisierung der Geometrie, die Anfänge infinitesimaler Betrachtungen und die Kegelschnittlehre. Fortgesetzt wurde die antike Tradition durch islamische Mathematiker, die sich besonders um die Entwicklung der Algebra, Arithmetik und der Trigonometrie verdient machten. Eine weitgehend unabhängige Entwicklung nahm die Mathematik in China (ab 2. Jahrtausend vor Christus) und in Mittel- und Südamerika. Die indische Mathematik profitierte in ihrer Entwicklung sowohl von chinesischen als auch griechischen und islamischen Einflüssen. Auf der Basis antiker und islamischer Ergebnisse einschließlich der in ihnen aufgenommenen chinesischen und indischen Resultate entstand in Europa ab 12. Jahrhundert eine eigenständige Mathematik Große Ergebnisse der europäischen Mathematik waren ab 17. Jahrhundert die disziplinäre Heraus- und Weiterbildung der Infinitesimalrechnung, der analytischen Geometrie und der mathematischen Logik, im 19./20. Jahrhundert der neueren Zahlentheorie, der verschiedensten Geometrien (zum Beispiel nichteuklidisch), der Topologie, der Mengenlehre und der modernen Algebra sowie im 20. Jahrhundert der Funktionalanalysis. Seit Ende des 19. Jahrhundert leisten auch außereuropäische Mathematiker wieder einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der Mathematik

Mathematische Erwartung, Erwartungswert, Mittelwert: Kennziffer (Zeichen EX oder ß) einer Zufallsgröße X, die ein gewisses Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße charakterisiert. Deutet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Verteilung von Massen auf der reellen Achse (mit der Gesamtmasse gleich eins), so ist EX gerade der Schwerpunkt dieses Systems.

Mathematische Geräte: technische Geräte zur Realisierung mathematischer Operationen. Aus den eingegebenen Daten erzeugen sie die Ergebnisse als Zahlen, in geometrischer Form, als elektrische Spannungen, Drücke oder andere physikalische Größen. Universelle mathematische Geräte sind heute die elektronischen Rechenautomaten. Es gibt jedoch auch viele Spezialrechner zur Ausführung spezieller Operationen, wie Integration, Differentiation, Koordinatentransformation, harmonische Analyse oder statistische Verfahren. Hierher gehören auch Übertragungsglieder der Automatisierungstechnik, die einen mathematischen Operator realisieren. Komplizierte Operationen lassen sich durch mathematische Geräte ausführen, die durch Schaltungen solcher Glieder gebildet werden; siehe auch Prozessrechner.

Mathematische Linguistik: Gesamtheit der Forschungen in der Sprachwissenschaft, die mathematischen Methoden (Mengenlehre, Automatentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung unter anderem) verwenden.

Mathematische Optimierung, Optimierung: wichtigstes Teilgebiet und Arbeitsmittel der Operationsforschung; sie berechnet das bestmögliche Ergebnis (Optimum) eines Prozesses oder Problems unter begrenzten Realisierungsmöglichkeiten. Je nach Problem ist dabei unter Optimum entweder das Minimum oder das Maximum zu verstehen. Das mathematische Modell der mathematischen Optimierung besteht im Allgemeinen aus einer Zielfunktion Z, deren Extremwert unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen (Restriktionen), zum Beispiel in Form eines Ungleichungssystems, zu bestimmen ist. Die Nebenbedingungen begrenzen den zulässigen Bereich der Variablen. Die mathematische Optimierung wird unter anderem zur Produktionsplanoptimierung, zur Lösung von Mischungs-, Zuschnitt-, Transport- und Zuteilungsproblemen angewandt. Wichtigster und praktisch bedeutsamster Teil der mathematischen Optimierung ist die Linearoptimierung. Anwendungsbereite Lösungsverfahren existieren außerdem für die diskrete Optimierung, das Rundfahrtproblem sowie die parametrische, hyperbolische und quadratische Optimierung. Größere Schwierigkeiten, besonders bei der numerischen Lösung, bereiten zurzeit noch die nichtlineare Optimierung, die dynamische Optimierung sowie die stochastische Optimierung. Siehe auch Optimierungsmodell.

Mathematische Papiere: geometrischer Raster zur vereinfachten Darstellung (Kurven werden Geraden) mathematische Abhängigkeiten, zum Beispiel) Funktionspapier, Fluchtlinientafel (Nomographie), Netztafel.

Mathematische Schule: Gruppenbezeichnung für Grenznutzentheoretiker, die für ihre vorwiegend subjektiv-idealistischen ökonomischen Lehren mathematischer Formulierungen und Methoden verwendeten. Die Mathematische Schule umfasst die Lausanner Schule (Hauptvertreter L. Walras, V. Pareto) und die anglo-amerikanische Richtung der Grenznutzentheorie.

Mathematische Statistik: Teilgebiet der Mathematik, dessen Aufgabe es ist, auf der Grundlage einer Stichprobe, deren Elemente unter Wahrung des Zufalls aus einer Grundgesamtheit gezogen wurden, Aussagen über die Grundgesamtheit zu machen. Ist zum Beispiel das interessierende Merkmal ein bestimmtes Abmaß an einem Erzeugnis, so bilden die Abmaße von allen unter gleichen Bedingungen herstellbaren Erzeugniseinheiten die Grundgesamtheit und die Messwerte dieses Abmaßes von den einer Qualitätskontrolle unterzogenen Erzeugniseinheiten eine Stichprobe. Wichtige Gebiete der mathematischen Statistik sind die Schätz- und die Testtheorie. In der Schätztheorie werden Methoden zur Schätzung von Charakteristiken (zum Beispiel mathematische Erwartung, Varianz) einer Grundgesamtheit entwickelt. Gegenstand der Testtheorie ist die Herleitung von Methoden zur Prüfung von Hypothesen über Charakteristiken einer Grundgesamtheit.

Mathematische Tafeln: Sammelbegriff für Wertetafeln viel benutzter Funktionen (Zahlentafeln) und mathematischer Formelsammlungen (zum Beispiel Integraltafeln).

Mathematische Zeichen: Standardsymbole zur Bezeichnung mathematischer Objekte, Beziehungen zwischen ihnen oder Operationen mit ihnen.