Gleichung

Gleichung: Mathematik eine mathematische Zeichenreihe, in der das Zeichen = (gleich) auftritt, dessen Bedeutung in der jeweiligen Theorie festgelegt wird. Meist sind die Gleichung durch Terme gegeben, in denen auch eine oder mehrere Variable auftreten können. In einer identischen Gleichung oder Identität ist die Gleichheit zweier Terme für jede Belegung der Variablen in den Termen mit Zahlen eines Bereiches erfüllt. Sie dienen zur allgemeingültigen Formulierung von Rechengesetzen; zum Beispiel a + b = b + a oder (a + b) = a1 + 2ab + b für beliebige Zahlen a und b. Eine Bestimmungsgleichung ist nur für bestimmte Werte der in den Termen auftretenden Unbestimmten (Unbekannten, Variablen) erfüllt; die Gleichung 3x + 2 = 11 zum Beispiel nur für den Wert x = 3. Die Zahlenwerte, die die Gleichung erfüllen, wenn sie für die Unbekannten eingesetzt werden, nennt man die Lösungen oder Wurzeln der Gleichung Eine algebraische Gleichung entsteht durch Nullsetzen eines Polynoms, dessen Grad auch der Grad der Gleichung ist. Gleichung 1. Grades heißen auch linear, Gleichung 2. Grades quadratisch, Gleichung 3. Grades kubisch. Für algebraische Gleichung gilt der Fundamentalsatz der Algebra. Für quadratische Gleichung der Form x2 + px + q = 0 lautet die Auflösungsformel des gibt es allgemeine Auflösungsformeln, für Gleichung höheren Grades dagegen nicht. Eine transzendente Gleichung enthält transzendente Funktionen. Dazu gehören unter anderem die Exponentialgleichung, in denen die Unbekannten als Exponenten auftreten, zum Beispiel 3 4 = 0, die logarithmische Gleichung, die die Logarithmen der Unbekannten enthalten, zum Beispiel 3log + 5 = 0, und die goniometrische Gleichung, in denen die Unbekannten als Argumente der Winkelfunktionen Vorkommen, zum Beispiel xsinx-l = 0. Die transzendenten Gleichungen werden im Allgemeinen durch graphische oder numerische Näherungsmethoden gelöst. In Funktionalgleichungen sind die Unbekannten selbst Funktionen. Gleichung sind ein unentbehrliches Hilfsmittel für Berechnungen in Physik und Technik.

Gleichverteilungssatz, Äquipartitionstheorem: Aussage der statistischen Physik, wonach in einem idealen Gas im thermodynamischen Gleichgewicht jeder Freiheitsgrad eines jeden Moleküls den gleichen Beitrag feT/2 zur Energie E des Gases liefert (Temperatur, k Boltzmann-Konstante), so dass E =flcT/2 gilt (Zahl aller Freiheitsgrade des Gases). Der Gleichverteilungssatz kann in abgewandelter Form auch auf ideale Festkörper (Kristalle) angewendet werden. Er gilt nicht bei tiefen Temperaturen.