Gauß

Gauß, Carl Friedrich, 30.4.1777-23.2.1855, Mathematiker, Astronom und Physiker; wirkte in Göttingen. Gauß wurde oft als «Princeps mathematicorum» (Fürst der Mathematiker) bezeichnet; er forderte alle von ihm bearbeiteten Gebiete durch tiefgründige Untersuchungen maßgeblich. 1796 entdeckte er die Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17ecks nur mit Zirkel und Lineal und verallgemeinerte das Resultat. Er bewies den Fundamentalsatz der Algebra (1799), begründete die moderne Zahlentheorie («Disquisitiones arithmeticae», 1801) und die Theorie der elliptischen Funktionen (1800). Er gab grundsätzliche Beiträge zur nichteuklidische Geometrie (ab 1792), zur Geodäsie und zur Differentialgeometrie (1827), zur Potentialtheorie (1839) und zur Himmelsmechanik (1809). Mit Gauß begann die Analysis, sich der Notwendigkeit bewusst zu werden, ihre Grundlagen zu sichern (1812). Mit dem Physiker W. Weber untersuchte Gauß den Erdmagnetismus, stellte ein Maßsystem auf und konstruierte 1833 den elektromagnetischen Telegrafen.

Gaußsche Abbildung: (nach C. F. Gauß) optische Abbildung durch zentrierte optische Systeme mit achsennahe verlaufenden Lichtstrahlen geringer Neigung (Paraxialstrahlen). Die Gaußsche Abbildung wird durch die Kardinalelemente festgelegt. Bei Gaußschen Abbildungen werden die Punkte der Objektebene punktförmig und geometrische Figuren ähnlich in der sogenannt Gänschen Bildebene abgebildet zwischen Objektweite (Ding-, Gegenstandsweite) a und a' gilt die Abbildungs- oder Linsengleichung, wenn Objekt- und bildseitige Brennweite gleich groß sind (siehe auch Newtonsche Abbildungsgleichung). Das Vorzeichen dieser Strecken ist vom optischen System ausgehend in Lichtrichtung positiv. Für unendlich große Objektweite entsteht das Bild in der Brennebene, die den Brennpunkt enthält und wie Objekt- und Bildebene senkrecht zur optischen Achse steht. Das Bild heißt reell, wenn sich die Strahlen in ihm schneiden, hingegen virtuell, wenn sich die Strahlenverlängerungen in ihm schneiden. Ein reelles Bild kann auf einem Schirm aufgefangen werden, ein virtuelles nicht. Die Gaußsche Abbildung stellt eine Näherung dar, die praktisch nicht streng realisierbar ist.

Gaußsches Eliminationsverfahren: (nach C. F. Gauß) ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme (A eine Matrix, b und x Vektoren). Dabei wird in endlich vielen Schritten durch Zeilenvertauschung, Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl und Addition zweier Zeilen ein äquivalentes Gleichungssystem Dx = b' gebildet mit einer oberen Dreiecksmatrix D (unter der Hauptdiagonale von D stehen nur Nullen). Die Lösung dieses Systems lässt sich von «unten» her leicht rekursiv berechnen und stimmt mit der des Ausgangssystems überein.

Gaußsches Fehlerverteilungsgesetz: eine von C. F. Gauß 1794 aufgestellte Hypothese hinsichtlich der Verteilung des zufälligen Fehlers X, der bei physikalischen Messungen auftritt. Danach ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert im Intervall annimmt, wobei Ax klein ist; tr2 = VarX, die f Varianz von X, ist ein Maß für die Streuung der Messung; je genauer eine Messung ist, desto kleiner ist die Varianz. Nach Gauß heißt a der mittlere Fehler einer Messung. Zur Begründung der genannt Hypothese dient der Zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, da der zufällige Fehler X aus der Überlagerung einer Vielzahl zufälliger Einzeleffekte resultiert, die im Allgemeinen unabhängig voneinander sind.

Gauß-Seidel-Methode: (nach C. F. Gauß und einem anderen Mathematiker) einfaches Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme; auch als Iteration in Einzelschritten bekannt.

Gauß-Verteilung: (nach C. F. Gauß) Verteilung einer stetigen Zufallsgröße X. Diese wird charakterisiert durch die Verteilungsfunktion mit der Gaußschen Dichtefunktion die graphisch die Gaußsche Fehlerkurve (meist fur fi = 0 angegeben) darstellt. Als Parameter treten die I mathematische Erwartung EX = ß und die 1 Varianz Var X = a2 auf. Aus dem Zentralen Grenzwertsatz resultiert ihre besondere Bedeutung und ihr häufiger Einsatz bei der Anwendung statistischer Methoden. Sie wird deshalb auch als Normalverteilung bezeichnet.

Gauß-Krüger-Projektion: für topographische Karten verwendeter querachsiger Zylinderentwurf. Um größere Verzerrungen zu vermeiden, benutzt man nur schmale, 3 oder 6 Längenkreise umfassende Streifen des Zylindermantels beiderseits des Berührungsmeridians. Nullpunkt des einzelnen Systems ist der Schnittpunkt des Mittelmeridians mit dem Äquator. Benannt nach dem Mathematiker C. F. Gauß und dem Geodäten L. Krüger.