Extremwert

Extremwert, Extremum: Mathematik Bezeichnung für den größten oder kleinsten Funktionswert einer reellwertigen Funktion. Als absoluten Extremwert bezeichnet man den größten beziehungsweise kleinsten Wert im Vergleich zu den Funktionswerten des ganzen Definitionsbereiches der Funktion, wobei der größte Funktionswert auch absolutes Maximum (Maximalwert), der kleinste absolutes Minimum (Minimalwert) genannt wird. Ein Funktionswert f(x0) heißt relativer Extremwert, wenn er der größte oder kleinste Wert der Funktion im Vergleich zu den Funktionswerten aus einer allseitigen Nachbarschaft von xo ist (relatives Maximum oder relatives Minimum). Besitzt die Funktion f(x) einer Variablen bei x0 eine Ableitung, so ist f(x0) = 0 eine notwendige Bedingung dafür, dass f(x0) ein relativer Extremwert ist. Die Tangente an die durch die Funktion gegebene Kurve verläuft an dieser Stelle parallel zur x-Achse. Ein relativer Extremwert liegt in x0 aber erst dann vor, falls noch weitere Bedingungen erfüllt sind und es handelt sich um ein relatives Maximum, wenn f (x0) < 0, und um ein relatives Minimum, wenn f" (x0) > 0. Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher ist das Verschwinden aller partiellen Ableitungen 1. Ordnung die entsprechend notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines relativen Extremwert, während die hinreichende Bedingung hier komplizierter ist.

Extremwertregelung: Spezialfall einer Adaption, bei dem ein als Extremwertregler bezeichneter einfacher Optimisator automatisch optimale Bedingungen, ausgewiesen als Extremwert einer gegebenen mess- und berechenbaren Zielfunktion, herstellt und trotz Änderungen des Prozesses aufrechterhält.